Actividad para realizar con los alumnos relacionada con las Matemáticas

Imagino que le estaréis dando vueltas al coco para idear alguna actividad. Aquí va una.
Nos vemos mañana 12 en Puerta Triana a las 8.

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE FRACTAL

La longitud y la forma de un fragmento de costa. Dimensión fractal.

Frecuentemente al tratar el tema, el profesor o los libros, nos dicen que España tiene 5031'1 Km. de costa (7695'3 si incluimos los archipiélagos, y 59'8 más si incluimos el Mar Menor). ¿Qué es lo que nos quieren decir?, ¿qué es lo que tiene esa longitud?, y sobre todo ¿cómo la han obtenido?, ¿cuál ha sido en el método seguido para obtener esta medida?, ¿se han tenido en cuenta todos los accidentes?, ¿hasta los más mínimos?.

Seguro que sobre estas preguntas los topógrafos, o los técnicos, tendrían mucho que decir, pero este tema como técnica no nos interesa, solo nos interesa el planteamiento de la siguiente cuestión: La medida obtenida ¿es la misma en todos los casos? , lo mismo si medimos la costa en una fotografía, o en un mapa a una escala, que si medimos el perfil de la costa con todos los entrantes y salientes, o en el caso más extremo si medimos los detalles más mínimos, hasta el perímetro de todas las rocas.

Veamos un ejemplo que puede constituir una actividad práctica a realizar en una zona de nuestro litoral.

Supongamos que tenemos que medir la longitud de la costa entre los puntos señalados en la foto:

Que visto esquemáticamente sería:

Una forma de hacerlo es con una cinta métrica, o con un telémetro, de una longitud dada (50, 100, 500 ó 1000 metros). Nos situaríamos en un punto, y nuestro colaborador en el punto de la costa que distara de nosotros dicha longitud en línea recta, después repetiríamos el proceso tantas veces como haga falta. Para el mismo caso la cinta métrica podría tener 10, 20 ó 25 metros de larga.

O podríamos hacer el proceso sobre un plano, con un compás o con una regla. Medición que nos daría unos 1'750 Km.

Sin embargo si la medición la hacemos metro a metro, o paso a paso, siguiendo el perfil de la costa (ejercicio que sí pueden hacer los alumnos) obtendremos otra medida, aunque el perfil descrito es el mismo, el resultado variará sensiblemente del anterior. Una vez que realizamos la experiencia de andar todo el recorrido nos salieron 2.439 pasos que multiplicado por 0'80 m. nos dan 1.951,2 m.

Pero si precisamos más el perfil de la costa no es así. Estará formado en la parte de playa por entrantes y salientes, que además variarán según el oleaje y las mareas, pero que será una copia miniaturizada del perfil que hemos visto en la foto y en el plano

y en la parte de rocas los entrantes y salientes serán aún más complicados:
Imaginemos que tenemos que medir ahora con una escala, o con un instrumento que mida en centímetros o en milímetros. El proceso sería notablemente más complicado y el resultado distinto.

A medida que la unidad (la longitud patrón con la que la comparamos) disminuye aumenta el resultado del proceso de medir. De tal manera que en el límite, cuando la unidad se aproximara a 0, la longitud se aproximaría a infinito.

Actividad 1. Ahora se trata de que durante el recorrido y entre los puntos señalados en el plano que se adjunta, repitamos el procedimiento:

1.- Calculemos la distancia haciendo la medición con pasos. La anotemos.

2.- Calculemos la distancia con la cinta métrica, con una unidad de 10 o de, preferentemente, 20 metros. Anotemos el resultado.

3.- Calculemos por último la distancia sobre el mapa con una regla y aplicando la escala del plano, con una unidad de 5 centímetros. Anotemos el resultado.

Comparar los tres resultados obtenidos. ¿Hay alguna relación entre los resultados obtenidos y la unidad utilizada?


Pero......¿qué es un fractal?

Fractal, en matemáticas, figura geométrica con una estructura compleja y pormenorizada a cualquier escala.
Normalmente los fractales son autosemejantes, es decir, tienen la propiedad de que una pequeña sección de un fractal puede ser vista como una réplica a menor escala de todo el fractal.
Un ejemplo de fractal es el “copo de nieve”, curva que se obtiene tomando un triángulo equilátero y colocando sucesivos triángulos, cada vez de menor tamaño, en el tercio medio de los lados cada vez más pequeños.

En teoría, el resultado es una figura de superficie finita pero con un perímetro de longitud infinita, y con un número infinito de vértices.
En el lenguaje matemático del cálculo, dicha curva no se puede diferenciar.
Se pueden construir muchas de estas figuras repetitivas aunque desde su aparición en el siglo XIX se habían considerado como un concepto extravagante.
Fueron descubiertos por Mandelbrot.
Si nos fijamos en las propiedades que tiene el paisaje que nos rodea, nos daremos cuenta de que paisajes tan clásicos como las montañas, costas, cortezas de los árboles, no son tan regulares como parecen: las montañas no son conos; las costas no son circulares; las cortezas de los árboles no son lisas. Sin embargo, estos objetos tienen, dentro de su irregularidad un orden: su forma se va repitiendo a distintas escalas dentro del mismo objeto, es decir, si observamos las formas de las ramas de un árbol y después aumentamos la escala de sus ramas, podremos apreciar que la forma de las ramas del árbol se van repitiendo a menor escala por todas sus ramas, y así sucesivamente. Por ello, al aumentar la escala de las formas que se repiten, veremos que son semejantes a las originales. Esta propiedad, tan abundante en la naturaleza, recibe el nombre de autosemejanza.
Actividad 2.- Intenta paso a paso, generar un fractal y obtener un árbol a partir de un segmento cuyo extremo lo dividimos en dos que forman un ángulo de 60º.

Y.....recuerda....

► Su historia es muy actual y ha sido impulsada gracias a los ordenadores.
► Sus aplicaciones son muy diversas, tales como crear arte, predecir algunos aspectos de la naturaleza y la compresión de datos.
► Es un tema en el que todavía queda mucho por investigar y todavía no se sabe hasta dónde nos puede llevar los algoritmos fractales.